? Математика для социологов и экономистов - Глава: 16.8.  экономия ресурсов

Математика для социологов и экономистов

17.5.  уравнение бернулли

Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, не являясь линейными, могут быть приведены к линейным после предварительных преобразований. Примером может служить уравнение

y' + f(x)y = g(x)-yn, (17.12)

которое называется уравнением Бернулли.

При п = 1 уравнение (17.12) становится уравнением с разделяющимися переменными. При п = 0 уравнение (17.12) есть линейное уравнение. Если п — число, отличное от нуля и единицы, то при помощи подстановки z = у1~п уравнение (17.12) приводится к линейному уравнению относительно новой функции Z.

Итак, пусть п ф 0, п ф 1. Введем новую функцию

z = y1~n,

(17.13)

тогда

z' = (1-п) у~п у'. Разделим обе части уравнения (17.12) на уп: y-ny' + f(x)y1-n = g(x).

Отсюда

z'/(l-n) + f(x)y = g(x),

или, что то же самое,

z' + (l-n)f(x)y = (l-n)g(x). (17.14)

Это уже линейное уравнение, решение которого описано в п. 17.4.

V Пример 1. Решить уравнение

у' + | = у2 In ж.

Решение. Заданное уравнение является уравнением Бернулли (п = 2). После замены (17.13) оно приводится к уравнению (17.14). В нашем случае оно имеет вид

z          z = — In X.

X

Согласно (17.9) решение этого уравнения имеет вид

z = e^lxdx ( (In ж) e-^lxdx dx + C^j=x       + Сі) •

Поскольку z = —, имеем У

1        f 2x

= x[   — + Ci

у     V 2

Положив С і = С/2, окончательно получаем

2

У =

(In2 х + С)

Задача. Решить уравнение Бернулли

ху' у = Xs у2.

Ответ: у =       j.

Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям.

Ж. Лагранж