Коэффициенты эластичности в нелинейных регрессиях.

Степенная функция используется в эконометрических исследованиях очень широко. Связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, то есть он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

 

ПРИМЕР

Кривая Энгеля была построена для расходов на питание в США за период с 1959 по 1983 г. с использованием тех же данных, что и в лекции «Парная линейная регрессия», однако вместо линейной функции в данном случае использовалась нелинейная, приведенная к линейному виду путем взятия логарифмов. Преобразованное выражение имело вид :

y = 1,20 + 0,55 log x

Выполнив обратные преобразования, получим

= е 1,20х 0,55 = 3,32 х 0,55

Если уравнение (4.6.) представляет собой правильную формулу зависимости ( в действительности, это, безусловно, сильно упрощено), то полученный результат предполагает, что эластичность спроса на продукты питания по доходу составляет 0,55, что означает, что увеличение личного располагаемого дохода на 1% приведет к увеличению расходов на питание на 0,55%. Коэффициент 3,32 не имеет простого толкования. Он помогает прогнозировать значения у при заданных значениях х, приводя их к единому масштабу.

О правомерности подобного истолкования параметра b можно судить, если рассмотреть формулу расчета коэффициента эластичности

Э= (4.13)

где - первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи. Для степенной функции она составит . Соответственно коэффициент эластичности окажется равным

Э = (4.14.)

 

Коэффициент эластичности можно определить и для других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значения фактора х. Так, для линейной регрессии у=а+bх коэффициент эластичности определяется по формуле

Э= (4.15.)

так как .

В силу того, что для линейной функции коэффициент эластичности не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, то обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле

(4.16)

Для параболы второго порядка у=а+bx+cx2 первая производная функции , а коэффициент эластичности также зависит от величины х

(4.17)

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Например, не имеет смысла определять в % такие признаки, как возраст, число комнат, тарифный разряд рабочего и др. В такой ситуации степенная функция не может быть экономически интерпретирована, поэтому даже если она оказывается наилучшей по формальным математическим соображениям (минимальная остаточная дисперсия), значительно больший интерес для интерпретации может иметь линейная регрессия с меньшим коэффициентом корреляции.

 

4.5. Корреляция для нелинейной регрессии.

Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи, а именно – индексом корреляции R

(4.18)

где -общая дисперсия результативного признака;

- остаточная дисперсия.

Учитывая связь дисперсии с объемом вариации, можно легко доказать, что индекс корреляции через объемы вариации определяется следующим образом:

(4.19)

Нам уже известно, что величина данного показателя находится в пределах от нуля до единицы. Чем он ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

Парабола второй степени, как и полином более высокого порядка, при линеаризации принимает вид уравнения множественной регрессии. Если же нелинейное относительно объясняющей переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, величина которого совпадет с индексом корреляции. (Доказательство дано в учебнике Елисеевой И.И. «Эконометрика»)

Обратимся к равносторонней гиперболе . Заменив на z, имеем регрессию вида , для которой может быть определен линейный коэффициент корреляции . По своей величине он будет равен коэффициенту корреляции между у и х , то есть ryч.

Иначе обстоит дело, когда преобразование уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков дает лишь приближенную оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции. Так, для степенной функции после перехода к логарифмически линейному уравнению loqy=loqa+bloqx может быть найден линейный коэффициент корреляции не для фактических значений переменных у и х, а для их логарифмов (то есть rloqy.loqx). Квадрат линейного коэффициента корреляции будет характеризовать отношение факторной суммы квадратов отклонений к общей, но не для у, а для его логарифмов. Между тем при расчете индекса корреляции используются суммы квадратов отклонений именно у, а не их логарифмов.

Квадрат индекса корреляции (i2) называют индекс детерминации, он имеет тот же смысл, что и линейный коэффициент детерминации, то есть представляет собой отношение факторной и общей суммы квадратов отклонений.

Индекс детерминации используется для проверки существенности уравнения нелинейной регрессии в целом по F-критерию Фишера

F = (4.20)

где п – число наблюдений;

т – число параметров при переменных х.

Величина m характеризует число степеней свободы для факторной дисперсии, а (n – m – 1) – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов. Для степенной функции т=1 и формула F-критерия примет тот же вид, что и при линейной парной зависимости

(4.21)

Для параболы второй степени m=2 и

(4.22)

 

Расчет критерия Фишера можно вести и в таблице дисперсионного анализа результатов регрессии, как это было показано для линейной функции (лекция 3).

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем меньше значение линейного коэффициента детерминации по сравнению с индексом детерминации. Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Практически если величина i2-r2≤0.1 , то предположение о линейной форме связи считается оправданным. Иными словами, если нет уверенности в правильности выбора нелинейной функции, то в целях лучшей интерпретации связи она может быть заменена уравнением прямой.

 

Вопросы для повторения

1. Какие есть способы выбора вида математической функции в случае парной связи переменных?

2. В чем сущность экспериментального метода выбора вида уравнения?

3. Назовите виды функций, нелинейных относительно объясняющих переменных.

4. Параметризацию каких видов нелинейных регрессий можно выполнить методом наименьших квадратов?

5. С какой целью проводится линеаризация переменных в уравнениях регрессии?

6. Назовите область применения равносторонней гиперболы в эконометрических исследованиях.

7. В чем особенность параболической регрессионной зависимости?

8. Раскройте содержание «кривых Энгеля».

9. Какова интерпретация показателя степени в степенной функции?

10. Назовите показатели корреляции, используемые при нелинейных соотношениях изучаемых признаков.

 

 

Резюме по модульной единице 4.Возможность построения нелинейных моделей значительно повышает универсальность регрессионного анализа, но и усложняет задачу исследователя – возникает проблема выбора. Выбор модели с максимальным коэффициентом детерминации не всегда возможен. В частности, нельзя сравнивать эти показатели для линейного и логарифмического вариантов модели. В большинстве случаев лучшей следует признать модель, которая при достоверных параметрах имеет меньший объем остаточной вариации, легче интерпретируется и требует меньшего объема наблюдений.

 

Тесты для самоконтроля

 

1. В парной регрессии выбор вида математической функции, моделирующей связь переменных, может быть осуществлен методами:

 

1) графическим (верно) 3) аналитическим, то есть исходя из теории изучаемой взаимосвязи (верно)
2) экспериментальным (верно) 4) выборочным

 

2. График функции представлен на рисунке

1) 3)
2) (верно) 4)

 

3. График функции

представлен на рисунке

1) 3) (верно)
2) 4)

 

4. График степенной функции представлен на рисунке

 

1) (верно) 3)
2)   4)

 

5. График показательной функции представлен на рисунке

1) 3)
2) 4) (верно)

 

 

6. Во сколько раз число наблюдений должно превышать число рассчитываемых параметров при переменной х?

 

 

1) в 6-7 раз (верно) 3) в 20-25
2) число наблюдений может быть равно числу параметров при х 4) в 2-3

 

 

7. Нелинейным является уравнение регрессии нелинейное относительно

 

1) переменных (верно) 3) ошибки аппроксимации
2) образов 4) параметров (верно)

 

8. Какой функцией (какими функциями) могут быть описаны кривые Энгеля, характеризующие соотношение между спросом на масло (у) и общей суммой дохода (х).

1) у = a - (верно) 3) у = a х b
2) у = а + вхс 4) у = a+ b х

 

9. К регрессиям, нелинейным относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейным по оцениваемым параметрам, относятся

 

1) у = а + вх + сх2+ dх3 (верно) 3) у = a х b
2) (верно) 4) у = a - (верно)

 

10. К регрессиям, нелинейным по оцениваемым параметрам, внутренне линейным относятся

1) у = a х b (верно) 3) у = а вх (верно)  
2) 4)

 

11. Функция у = ab х приводится к линейному виду следующими преобразованиями

1) х b=z 3) log y = b log a log x  
2) log y = log a + b log x   4) log y = log a + x log b (верно)  

 

12. Функция у = aх b приводится к линейному виду следующими преобразованиями

1) 3) log y = b log a log x  
2) log y = log a + b log x (верно)   4) log y = log a + x log b  

 

13. Метод наименьших квадратов был применен к линеаризованному уравнению ln y = 2 + 3 ln x . Преобразуйте эту зависимость в зависимость y от х

 

1) у = 3х7,4 3) у = 7,4х3 (верно)
2) у = 100+х3 4) у = 2х3

 

14. В какой функции параметр b является коэффициентом эластичности?

 

1) у = abх 3) в функциях у = abх и у = a хb
2) у = a хb (верно) 4) у=a+bx

 

15. Общая формула для расчета коэффициента эластичности это

 

1) Э= (верно) 3) Э=
2) Э = 4)

 

16. По какой формуле рассчитывается коэффициент эластичности для показательной функции

1) Э = 3) (верно)
2) Э= 4)

 

17. Коэффициент эластичности показывает

 

1) на сколько единиц изменится независимая переменная, если зависимая изменится на 1 % 3) мультиколлинеарность в модели
2) на сколько % изменится зависимая переменная, если независимая изменится на 1% (верно) 4) на сколько единиц изменится зависимая переменная, если независимая изменится на 1 свою единицу измерения

18. Для каких функций можно рассчитывать парный линейный коэффициент корреляции?

 

1) у = a х b 3) у = а вх  
2) (верно) 4)

 

19. Чему равен индекс корреляции, если доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19?

1) 0,81 3) 0,9 (верно)
2) 0,19 4) 0,44

 

20. Чему равен F-критерий Фишера для степенной функции, если парный линейный коэффициент корреляции составил 0,7, а индекс корреляции – 0,8, численность выборки – 12?

 

1) 9,6 4) 21,3
2) 1,78 5) 17,8 (верно)