Параметризация уравнения множественной регрессии и его интерпретация

Установив перечень признаков-факторов, и предварительно оценив форму связи, можно записать соответствующее математическое уравнение теоретической линии множественной регрессии. Так, например, в случае двухфакторной линейной регрессии нахождение неизвестных параметров по методу наименьших квадратов предполагает решение системы нормальных уравнений:

Комментируя решенное уравнение, следует помнить о том, что существует различие в интерпретации коэффициента регрессии в парных и множественных моделях. В уравнениях парной регрессии коэффициент в называют коэффициентом полной регрессии. Он показывает, как в среднем изменится у при изменении х на единицу, при условии, что влияние других факторов не учтено.

В уравнениях множественной регрессии коэффициент вi называют коэффициентом чистой регрессии. Он измеряет среднее изменение у при изменении фактора хi на единицу, но при условии, что действие других факторов, включенных в уравнение регрессии, учтено и зафиксировано на среднем уровне.

Коэффициенты регрессии в уравнении связи несопоставимы друг с другом в силу разных единиц измерения. Для целей сравнения и определения приоритетности факторов определяют стандартизованные коэффициенты регрессии: коэффициенты эластичности и бета-коэффициенты.

Коэффициенты эластичности для линейной связи определяются по формулам

и т.д. (5.1.4.)

Они показывают, на сколько процентов изменится признак-результат, если признак-фактор изменится на один процент. Формулы для расчета бета-коэффициентов имеют вид

(5.1.5)

Величина бета-коэффициента показывает, на сколько средних квадратических отклонений изменится у, если хi изменится на одно среднее квадратическое отклонение.

Стандартизованные коэффициенты регрессии позволяют выделить приоритетные факторы, в изменении которых заложены наибольшие возможности в управлении изменением результативного признака.

Как и в парной зависимости, возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные. Ввиду четкой интерпретации параметров уравнения наиболее широко используются линейные и степенные функции. Линейная модель в форме (5.1.1) является аддитивной. Это означает, что в основе модели лежит гипотеза о том, что каждый фактор что-то добавляет или отнимает от значения результативного признака. Например, если у – это урожайность сельскохозяйственной культуры, а х1, х2 и х3агротехнические факторы: дозы удобрений, число прополок, поливов и т.п., то каждый из этих факторов либо повышает, либо понижает величину урожайности, причем последняя могла бы существовать и без этих факторов.

Также часто линейная регрессионная модель используется в функциях потребления (спроса), где у – потребление товара или группы товаров, а факторами могут быть доход семьи в текущем и предшествующем периоде, размер семьи, цены, прошлые привычки потребления, то есть потребление товара в предшествующем периоде.

Параметр а в таком уравнении не подлежит экономической интерпретации, а коэффициенты регрессии рассматриваются как характеристики склонности к потреблению. Например, функция потребления имеет вид

Пt = a +b1Dt + b2Dt-1 (5.1.6)

где потребление в период времени t зависит от дохода того же периода Dt и от дохода предшествующего периода Dt-1. Коэффициент в1 называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Он показывает, на сколько увеличится потребление товара при увеличении доходов текущего периода на единицу. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на величину b = b1 + b2. Коэффициент в рассматривается здесь как долгосрочная склонность к потреблению.

Пример: П (потребление) = 38 + 0,47Дт +0,23Дт-1. Краткосрочная склонность к потреблению составляет здесь 0,47, а долгосрочная склонность 0,47+0,23=0,7.

Однако аддитивная модель пригодна не для любых связей в экономике. Если, например, изучается зависимость объема продукции предприятия от занимаемых площадей, числа работников, стоимости основных фондов (или всего капитала), то каждый из факторов является необходимым для существования результата, а не добавлением к нему. В таких ситуациях нужно исходить из гипотезы о мультипликативной форме модели:

(5.1.7)

Такая модель по ее первым создателям получила название модель Кобба-Дугласа. Это степенная функция и, как мы уже знаем, показатели степени при факторах являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов изменяется в среднем результат с изменением соответствующего фактора на 1 процент при неизменности других факторов. Решение степенной функции методом наименьших квадратов требует предварительной ее линеаризации. Как было рассмотрено ранее (лекция 4), линеаризация степенных функций проводится с помощью логарифмирования ее переменных.

Степенные множественные функции часто используются как производственные функции, где результатом выступают объемы производства, а факторами – используемые ресурсы (трудовые ресурсы, основные производственные фонды, машины, текущие затраты и т.п.). Экономический смысл здесь имеют не только коэффициенты эластичности по каждому фактору, но и их сумма

B = b1+b2 (5.1.8)

Эта величина фиксирует обобщенную характеристику эластичности производства (показывает, на сколько процентов в среднем увеличиваются объемы производства при увеличении всех факторов на 1%).

Возможны и другие линеаризуемые функции для построения уравнения множественной регрессии. Например,

экспонента (5.1.9)

или гипербола (5.1.10)

Стандартные компьютерные программы обработки регрессионного анализа позволяют перебирать различные функции и выбирать ту из них, для которой остаточная дисперсия и ошибка аппроксимации минимальные. Однако следует помнить, что чем сложнее сама функция, тем менее интерпретируемы ее параметры. При сложных полиномиальных функциях необходимо соблюдать соотношение между числом объясняющих переменных и объемом совокупности. Так, полином второй степени с двумя факторами

y = a + b1x1 + b2x2 +b11x12+ b22 x2 2+ b12x1x2 (5.1.11)

требует не менее 40-50 наблюдений.

Вопросы для повторения по модульной единице 5.1:

 

1. Назовите условия отбора факторных показателей в уравнение множественной регрессии.

2. Раскройте сущность мультиколлинеарности факторов в модели.

3. Каковы последствия наличия мультиколлинеарных факторов в модели?

4. Назовите методы устранения мультиколлинеарности факторов.

5. Что показывают чистые коэффициенты регрессии?

6. Раскройте назначение стандартизованных коэффициентов регрессии.

7. Как рассчитать средний коэффициент эластичности, и какова его интерпретация?

8. Что показывает бета-коэффициент и как его рассчитать?

9. Как выявить приоритетный фактор(ы) в формировании уровня результативного признака?

10. Функция потребления: сущность, способ решения и интерпретация параметров.

11. Производственная функция: сущность, способ решения и интерпретация параметров.

 

Резюме по модульной единице 5.1.

Данная тема занимает центральное место в курсе эконометрики, поскольку именно многофакторность свойственна экономическим системам. Многофакторные модели служат основным средством прогнозирования экономических результативных признаков, а также средством оценки роли каждого отдельного фактора в изменении уровня результативного признака.

 

Тесты для самоконтроля

 

1. Какие уравнения являются множественными регрессиями?

1) у = а + вх + сх2+ dх3 3) (верно)
2) 4) (верно)

 

2. Комбинированный эффект дохода и цены в модели спроса

 

у = a + b1х + b2 р + и ,

где p – цена,

выражается как:

1) a + b1х + b2 р + и 4) a + b2 р
2) a + b1х + b2 р 5) b1х
3) a + b1х 6) b1х + b2 р (верно)

 

3. Чистый эффект дохода в модели спроса

 

у = a + b1х + b2 р + и

где p – цена,

 

выражается как:

 

1) a + b1х + b2 р + и 4) a + b2 р
2) a + b1х + b2 р 5) b1х (верно)
3) a + b1х 6) b2 р

 

4. Графически уравнению множественной регрессии может соответствовать:

 

1) прямая линия 3) плоскость (верно)
2) точка 4) синусоида

 

5. В уравнениях множественной регрессии коэффициенты при независимых переменных интерпретируются как

1) условные начала 3) коэффициенты полной регрессии  
2) коэффициенты чистой регрессии (верно) 4) коэффициенты раздельной детерминации

 

6. Основная цель построения уравнения множественной регрессии состоит в том, чтобы:

1) построить модель с меньшим числом факторов, что определить влияние каждого из них в отдельности, а также их совокупное влияние на результативный признак 3) построить модель с большим числом факторов, вне зависимости от разделения влияния факторов
2) построить модель с большим числом факторов, определить влияние каждого из них в отдельности, а также их совокупное влияние на результативный признак (верно) 4) построить модель с большим числом факторов с максимальным взаимодействием факторов

 

 

7. При отборе факторов в модель каждая дополнительно включенная в модель независимая переменная

 

1) должна уменьшать снижать множественный коэффициент детерминации 3) должна уменьшать коэффициенты чистой регрессии
2) должна увеличивать коэффициенты чистой регрессии 4) должна увеличивать множественный коэффициент детерминации (верно)

 

8. Коэффициент чистой регрессии при второй независимой переменной в уравнении

интерпретируется:

1) если среднее значение увеличится на 1, то среднее значение зависимой переменной уменьшится на 2 при условии, что переменная будет фиксирована на среднем уровне (верно) 3) если среднее значение увеличится на 1, то среднее значение зависимой переменной увеличится на 2 при условии, что переменная будет фиксирована на среднем уровне
2) если значение увеличится на 1, то значение зависимой переменной уменьшится на 2 4) если среднее значение увеличится на 1, то среднее значение зависимой переменной уменьшится на 5-2=3, при условии, что переменная не изменится

 

9. Мультиколлинеарность это:

1) сильная корреляционная связь между объясняемыми переменными 3) сильная корреляционная связь между объясняемой и объясняющими переменными
2) сильная корреляционная связь между объясняющими переменными (верно) 4) слабая корреляционная связь между объясняемой и объясняющими переменными

 

10. Укажите методы устранения мультиколлинеарности:

1) изменение единиц измерения переменных 3) применение метода наименьших квадратов
2) переход к уравнениям в приведенной форме (верно) 4) переход к совмещенным уравнениям (верно)

 

11. Стандартизованными коэффициентами регрессии называют:

1) коэффициенты эластичности и бета-коэффициенты (верно) 3) коэффициенты чистой регрессии и коэффициенты эластичности  
2) коэффициенты чистой регрессии   4) коэффициенты чистой регрессии и бета-коэффициенты

 

12. Укажите формулу для расчета коэффициента эластичности для двухфакторной линейной модели:

1) (верно) 3)
2) 4)

 

13. Для парной линейной модели бета-коэффициент равен:

1) коэффициенту чистой регрессии 3) коэффициенту парной корреляции (верно)
2) коэффициенту эластичности 4) коэффициенту полной регрессии

 

14. Коэффициент эластичности в модели множественной регрессии показывает:

1) на сколько единиц изменится независимая переменная, если зависимая изменится на 1 % 3) на сколько % изменится зависимая переменная, если все независимые переменные изменятся на 1%
2) на сколько % изменится зависимая переменная, если независимая изменится на 1% при условии неизменности остальных независимых переменных (верно) 4) на сколько единиц изменится зависимая переменная, если независимая изменится на 1 свою единицу измерения при условии неизменности остальных независимых переменных

 

15. Бэта-коэффициент в модели множественной регрессии показывает:

1) на сколько % изменится зависимая переменная, если независимая изменится на 1% при условии неизменности остальных независимых переменных 3) на сколько среднеквадратических отклонений изменится зависимая переменная, если независимая изменится на одно среднеквадратическое отклонение при условии неизменности остальных независимых переменных (верно)
2) на сколько среднеквадратических отклонений изменится зависимая переменная, если независимая изменится на одно свое среднеквадратическое отклонение при условии неизменности остальных независимых переменных (верно) 4) на сколько % среднеквадратических отклонений изменится зависимая переменная, если независимая изменится на одно свое среднеквадратическое отклонение при условии неизменности остальных независимых переменных

 

16. Укажите производственную функцию Коба-Дугласа:

 

1) (верно) 3) у = a + b1х + b2 р + и
2) Э= 4)

 

17. Сумма коэффициентов эластичности в модели Коба-Дугласа

 

1) не имеет самостоятельного экономического смысла 3) равна произведению бэта-коэффициентов
2) показывает, на сколько процентов в среднем увеличиваются объемы производства при увеличении всех факторов на 1% (верно) 4) показывает, на сколько процентов в среднем увеличиваются объемы производства при увеличении одного из факторов на 1%

 

18. Коэффициенты интеркорреляции это:

 

1) коэффициенты корреляции между объясняющими и результативными переменными 3) коэффициенты эластичности
2) коэффициенты корреляции между объясняющими переменными (верно) 4) показатели связи фактора с результативной переменной

 

19. Мультиколлинерность в модели множественной регрессии

1) приводит к смещенности оценок коэффициентов чистой регрессии, получаемых МНК 3) приводит к большим ошибкам и, как следствие, незначимости параметров, хотя уравнение в целом может оставаться значимым (достоверным) (верно)
2) приводит к тому, что нельзя определить чистое влияние факторов, и параметры уравнения оказываются неинтерпретируемыми (верно) 4) не является серьезной проблемой

 

20. Если строится двухфакторная модель множественной регрессии, то минимальное число наблюдений должно быть равно:

 

1) 6-7 4) 500
2) 12-14 (верно) 5) 100