Изучение взаимосвязи переменных по данным временных рядов

Изучение взаимосвязи экономических переменных по данным временных рядов осложнено тем, что в этих рядах может быть тенденция. Если в ряду динамики переменной у и в ряду динамики х есть компонента «Т», то в результате мы получим тесную связь между у и х. Однако из этого факта еще нельзя делать вывод о том, что изменение х есть причина изменения у, то есть что между этими изменениями есть причинно-следственная связь.

Например, за последние 10 – 15 лет в Российской Федерации сократилось поголовье КРС и увеличилось число крестьянских (фермерских) хозяйств. Коэффициент корреляции между уровнями этих рядов динамики высок по величине; знак указывает на обратную связь. Однако это не означает, что рост численности фермерских хозяйств явился фактором снижения поголовья. Чтобы выявить причинно-следственную зависимость между переменными, необходимо устранить ложную корреляцию между ними, вызванную наличием тенденции.

Существует несколько способов исключения тенденции в рядах динамики. Первый способ называется метод отклонений от тренда. Пусть имеется уt= Т + е и хt= Т + е. Проводится аналитическое выравнивание каждого ряда: и , где Ту и Тх – это оценки трендовых компонент. Затем определяется остаток в каждом наблюдении и

,так как остаточная компонента не содержит тенденции. Далее изучается зависимость между самими остатками еу=f(ех). Если между переменными есть связь, то она проявится в согласованном изменении остатков. Недостатком данного способа является то, что содержательная интерпретация параметров такой модели затруднительна. Однако модель может быть использована для прогнозов и, кроме того, коэффициент парной корреляции между остатками отразит связь переменных.

Второй способ преодоления тенденции в рядах динамики – это метод последовательных разностей. Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, то для ее устранения можно заменить исходные уровни разностями первого порядка, то есть цепными абсолютными приростами: и . Далее прирост у рассматривается как функция прироста х: . Рассмотрим математическое доказательство исключения тенденции в этом случае.

Доказательство

=(а+bt+et)-(a+b(t-1)+et-1)=b+( et - et-1).

Мы видим, что величина исключает фактор времени, так как b – константа, а остатки по предпосылкам МНК не должны содержать тенденции, то есть должны быть случайными и независимыми.

Недостатком второго способа является потеря информации (приростов на единицу меньше, чем уровней), что в условиях малого числа наблюдений крайне нежелательно. Достоинством является возможность интерпретации параметров. Коэффициент регрессии b покажет изменение прироста результата при единичном изменении прироста фактора.

Третьим способом является включение в модель регрессии фактора времени: yt= a+b1x1+ b2 t. В данном случае коэффициенты чистой регрессии легко интерпретируются, имеют естественные единицы измерения. Коэффициент b1 покажет на сколько единиц изменится результат при единичном изменении фактора при условии существования неизменной тенденции; коэффициент b2 отразит влияние всех прочих факторов, формирующих тенденцию, кроме x1. Однако данный способ построения регрессионной модели требует большего объема наблюдений, так как в модели появляется еще один параметр.

Если тренды признаков являются экспонентами (или показательными функциями), то вместо корреляции абсолютных отклонений от трендов можно применить метод корреляции цепных темпов роста уровней, поскольку именно темпы роста – основной параметр экспоненциальных и показательных трендов.

 

Критерий Дарбина-Уотсона

Ранее мы сказали, что по данным временных рядов могут быть исследованы причинно-следственные связи переменных. Первые два метода исключения тенденции приводят к тому, что вместо исходных уровней ряда мы исследуем зависимость между остатками в рядах динамики, оговариваясь при этом, что остатки не должны содержать тенденции. В противном случае ее присутствие вызвало бы ложную корреляцию.

Однако при моделировании временных рядов встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или цикличность (рис.6.1.2). В этом случае остатки не являются независимыми, каждое последующее значение остатка зависит от предыдущего. Это явление получило название автокорреляция остатков.

 

 

Назовем причины существования автокорреляции остатков:

1) в модель не включен фактор, оказывающий существенной воздействие на результат; его влияние будет отражаться в остатках, то есть они могут быть автокоррелированы;

2) модель не учитывает влияние нескольких второстепенных факторов, совместное влияние которых может быть существенным (если их тенденции совпадают или фазы цикличности совпадают);

3) автокорреляция остатков может заключаться в неверной функциональной спецификации модели.

Существуют два способа определения автокорреляции в остатках. Первый заключается в визуальном анализе графика зависимостей остатков от времени (см. рис. 6.1.2). Второй способ предполагает использование критерия Дарбина-Уотсона. Величину критерия (d) можно определить по одной из формул

(6.1.4)

либо d 2(1 – re1) (6.1.5.),

где re1 – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция, то re1=1 и d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то

re1=-1 и d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то re1=0 и d = 2.

На практике используется следующий алгоритм проверки гипотезы об автокорреляции остатков:

1. выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках;

2. определяется фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона (d);

3. по специальным таблицам (приложение учебника по эконометрике) находят критические значения критерия dL и du , где п –число наблюдений, k- независимых переменных в модели, - уровень значимости;

4. числовой промежуток всех возможных значений d разбивается на 5 отрезков

Есть положи-тельная автокорре-ляция остатков Зона неопределен-ности Автокорреля-ция остатков отсутствует Зона неопределен-ности Есть отрицательная автокорреля-ция остатков

0 d L d u 2 4- d u 4 - d L 4

 

5. если d - фактическое попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции в остатках.

В последнем случае исследовать причинно-следственные связи переменных по остаткам нельзя, получим ложную корреляцию.

 

Вопросы для повторения:

1. Перечислите основные элементы временного ряда.

2. Что такое автокорреляция уровней временного ряда?

3. Дайте определение тренда.

4. Перечислите основные виды трендов.

5. Какова интерпретация линейного и показательного трендов?

6. Что такое ложная корреляция и как ее избежать.

7. Перечислите основные методы исключения тенденции, назовите их достоинства и недостатки.

8. Какова методика построения модели регрессии по первым разностям?

9. Какова методика построения уравнения регрессии с учетом фактора времени?

10. Какова методика построения уравнения регрессии по отклонениям от трендов?

11. Какова интерпретация параметров в модели с включенным фактором времени?

12. Раскройте понятие автокорреляции в остатках.

13. С какой целью используется критерий Дарбина – Уотсона? Изложите алгоритм его применения.

 

Резюме по модульной единице 6.

Моделирование временных рядов имеет определенную специфику. При развитии любого процесса, в том числе экономического, каждый уровень развития всегда в какой-то мере зависит от уровней того же процесса за предыдущие периоды или моменты времени. Исследование автокорреляции уровней позволяет определить основные группы факторов, формирующих этот процесс. Анализ автокорреляции в остатках позволяет выявить ложную корреляцию и дает возможность изучения истинных связей переменных в рядах динамики.

Тесты для самоконтроля

 

1. Временной ряд – это:

1) последовательность лет 3) совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени (верно)
2) значение какого-либо показателя за определенный период времени 4) значение какого-либо показателя в определенный момент времени

 

2. Тенденция временного ряда может быть

1) только возрастающей 3)возрастающей или убывающей (верно)
2) только убывающей 4)сначала возрастающей, потом убывающей

 

3. Тенденция отражает влияние

1) совокупного долговременного воздействия множества факторов на динамику изучаемого показателя (верно) 3) воздействия случайных факторов на динамику изучаемого показателя
2) воздействия определенного фактора на динамику изучаемого показателя 4) воздействия циклических колебаний на динамику изучаемого показателя

 

4. Циклическая компонента временного ряда может быть обусловлена влиянием

1) множества факторов на динамику изучаемого показателя 3) случайных факторов на динамику изучаемого показателя
2) длительных циклических колебаний (верно) 4) сезонных колебаний на динамику изучаемого показателя (верно)

 

5. Какая из моделей временного ряда является аддитивной, если:

Т – тренд;

S – циклическая компонента;

E – случайная компонента.

 

 

1) Yt=T+S·E 3) Yt=T+S+E (верно)
2) Yt=T·S·E 4) Yt=T/S+E

 

6. Какие компоненты временного ряда:

 

Т – тренд;

S – циклическая компонента;

E – случайная компонента

 

– являются закономерными, неслучайными ?

1) только T 3) только S
2) T и S (верно) 4) T и Е

 

7. Значения временного ряда уt

1) являются неслучайными величинами 3) нельзя рассматривать ни в качестве случайных ни в качестве неслучайных величин
2) являются случайными величинами (верно) 4) неизвестные исследователю величины

 

8. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют

1) автокорреляцией (верно) 3) гетероскедастичностью
2) мультиколлинеарностью 4) мультипликатором временного ряда

 

9. Коэффициент автокорреляции второго порядка определяется по формуле:

 

1) 3)
2) (верно) 4)

 

10. Для обеспечения статистической достоверности лаг при расчете коэффициента автокорреляции уровней ряда (t=1,2…n) должен быть

1) ≤ п / 2 3) ≤ п / 4 (верно)
2) ≥ п / 4 4) ≥ п / 2

 

11. График зависимости величины коэффициента автокорреляции от лага называют

 

1) автокорреляционной функцией 3) коррелограммой (верно)
2) полем корреляции 4) диаграммой

 

12. Если ряд динамики содержит только тенденцию и циклическую компоненту, то его график

 

1) 3)
2) 4) (верно)

 

13.Если ряд динамики содержит только тенденцию и случайную компоненту, то его график

 

1) (верно) 3)
2) 4)

 

14. Если при построении уравнения регрессии по данным временных рядов при высоком коэффициенте детерминации присутствует автокорреляция уровней (значений) в рядах динамики, то

1) уравнение регрессии отражает реальные связи между переменными 3) присутствует сложная корреляция между переменными
2) присутствует ложная корреляция между переменными (верно) 4) предпосылки МНК не нарушаются

 

15. Методами исключения тенденции являются:

 

1) включение в модель регрессии фактора времени (верно) 3) метод последовательных разностей (верно)
2) метод отклонений от тренда (верно) 4) метод Гольдфельда-Квандта

 

16. Автокорреляция в остатках наблюдается, если

1) остатки содержат тенденцию (верно) 3) остатки содержат сезонность (верно)
2) остатки распределены в соответствии с законом нормального распределения 4) остатки распределены случайно

 

17. Возможные причины автокорреляции остатков:

 

1) в модель включен фактор, оказывающий существенное воздействие на результат 3) в модель не включен фактор, оказывающий существенное воздействие на результат (верно)
2) модель не учитывает влияние нескольких второстепенных факторов, совместное влияние которых не существенно 4) автокорреляция остатков может заключаться в неверной функциональной спецификации модели (верно)

 

18. Для выявления автокорреляции в рядах динамики используется тест

1) Гольдфельда-Квандта 3) Дарбина-Уотсона (верно)
2) F-тест 4) t-тест

 

19. Если в предыдущий момент времени увеличение остатка приводит к его росту в последующий момент, то

 

1) присутствует ложная автокорреляция 3) присутствует положительная автокорреляция (верно)
2) присутствует отрицательная автокорреляция 4) автокорреляция остатков отсутствует

 

20. Если в момент времени tm (t=1,2…n) ряда динамики был серьезный экономический кризис, то выявить тенденцию развития уровня безработицы, можно путем