Понятие и необходимость применения систем уравнений

 

При использовании уравнений регрессии (линейных и нелинейных, парных и множественных) вида

 

(7.1.1)

предполагалось, что y – случайная, а х – неслучайные (детерминированные) переменные. То есть, значения переменных х мы задаем, фиксируем, а затем наблюдаем получающиеся значения у. Данное допущение является одним из требований применения метода наименьших квадратов для оценки параметров уравнения регрессии, поскольку оно обеспечивает отсутствие корреляции регрессоров х и случайных ошибок регрессии и позволяет получить несмещенные и состоятельные оценки.

Для описания реальных экономических систем, где статистические показатели находятся во взаимодействии и взаимосвязи, возникают сложности со спецификацией модели, поскольку многие факторные и результативные признаки взаимодействуют друг с другом. Из-за этого возникает проблема мультиколлинеарности факторов в уравнениях множественной регрессии.

Одна и та же переменная может рассматриваться как факторная, независимая, а с другой – как результативная, случайная величина.

Например, если существует зависимость:

 

(7.1.2)

 

и одновременно

 

(7.1.3)

 

коэффициенты и значимо отличаются от нуля. Тогда в модели 7.1.1 факторы – коллинеарные. Если же рассматривать только модель:

 

, (7.1.4)

 

то возникает коррелированность регрессора и ошибок регрессии , поскольку величина в данном случае случайная, как и , что приводит к смещенным и несостоятельным оценка метода наименьших квадратов.

Поэтому естественным выходом из подобных ситуация является построение не отдельных уравнений регрессии, а их систем, для оценивания которых применяются специальные методы (3 вопрос лекции).

Случайные переменные называют эндогенными, т.е. внутренними, так как они формируют свои значения внутри модели. Признаки, считающиеся заданными, известными, неслучайными получили название экзогенных, или внешних для данной системы. Один и тот же признак может быть эндогенным в одной задаче и экзогенным – в другой.

С точки зрения математической статистики, главное отличие между ними в том, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибками регрессии. Если объединить в систему уравнения 7.1.1 и 7.1.2, эндогенными переменными будут у и х1, экзогенной - х2.

Далее будем обозначать экзогенные переменные х, а эндогенные – у.

В зависимости от характера взаимосвязей между эндогенными и экзогенными переменными выделяют системы рекурсивных (рекуррентных) и совместных, одновременных, взаимосвязанных уравнений.

Если представить графически связи между переменными, то на рис. 7.1.1 представлен граф связей системы одновременных уравнений, на рис. 7.1.2 – рекурсивных.

 

 

Отличие между ними заключается в том, что в системе совместных уравнений одни и те же признаки одновременно могут выступать и в роли зависимых и в роли независимых переменных. Т.е. зависимые переменные входят в одних уравнениях в левую часть, в других – в правую часть системы:

 

(7.1.5)

 

В эконометрике такая система уравнений называется также структурной формой модели.

Структурная форма модели содержит при эндогенных переменных коэффициенты , экзогенных переменных – , которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня:

 

(7.1.6)

 

Поэтому свободные члены в системе отсутствуют.

Рис. 7.1.1 соответствует модель:

 

(7.1.7)

 

В общем виде модель системы рекурсивных уравнений будет иметь вид:

 

(7.1.8)

 

Рис. 7.1.2 соответствует модель:

 

(7.1.9)

 

В системе рекурсивных уравнений хоты бы одна эндогенная переменная должна определятся только лишь набором независимых переменных. Если все эндогенные переменные расположены в левой части, а экзогенные – в левой, то такая система называется системой независимых уравнений. Для решения систем независимых и рекурсивных переменных используется метод наименьших квадратов.

Методы оценивания параметров систем одновременных уравнений рассмотрим далее.