Понятие о трехшаговом методе наименьших квадратов

 

Трехшаговый метод наименьших квадратов был предложен впервые Зельнером и Тейлом в качестве оценивания всех уравнений структурной формы с учетом возможной взаимной коррелированности регрессионных остатоков различных уравнений системы. В трехшаговом МНК первые четыре этапа расчета выполняются так же, как и в двухшаговом методе, а затем проводится пятый этап: применяется обобщенный метод наименьших квадратов, и окончательные оценки параметров модели получаются с учетом этого метода.

Трехшаговый МНК оказывается эффективнее двухшагового, если случайные остатки структурных уравнений оказываются взаимно коррелированными. Хотя стоит отметить, что и в случае коррелированности остатков оценки двухшагового метода наименьших квадратов остаются состоятельными.

 

Применение систем уравнений

Наиболее важным этапом при построении систем одновременных уравнений является спецификация модели. Ввиду большого числа факторов, влияющих на экономические переменные, как правило, нельзя быть уверенным в точности предлагаемой модели для описания экономических процессов. Поэтому использование моделей сопряжено с рядом сложностей, которые связаны с ошибками спецификации модели.

Сверхидентифицируемую модель можно превратить в точно идентифицируемую, изменяя набор переменных. Если правильная спецификация дает неидентифицируемую модель, то переходят к сверх- и точно идентифицируемым моделям, характер связей при этом несколько упрощается. Отсюда возникает множество прикладных моделей для решения одного и того же класса задач. Наиболее ярко это проявляется при построении макроэкономических моделей, когда одна и та же экономическая категория может описываться разным набором переменных.

Рассмотрим основные направления практического использования эконометрических систем уравнений.

Наиболее широко системы одновременных уравнений применяются для моделирования макроэкономики. Большинство из них построено на основе кейнсианских моделей. Статическая модель Кейнса для описания народного хозяйства страны в наиболее простом варианте имеет следующий вид (в современных показателях системы национального счетоводства России):

 

(7.2.35)

 

где С – конечное потребление в постоянных ценах;

у – валовой располагаемый национальный доход (ВРНД) в постоянных ценах;

– случайная составляющая;

I – валовые инвестиции в постоянных ценах (валовое сбережение).

 

Второе уравнение является тождеством, поэтому структурный коэффициент b не может быть больше 1. Он характеризует предельную склонность к потреблению. Так, если b=0,5, то из каждого дополнительного рубля дохода на потребление расходуется 50 копеек и 50 копеек инвестируется. Если b>1, то y < C+I – на потребление расходуются не только доходы, но и сбережения прошлых лет.

Система приведенных уравнений:

 

(7.2.36)

 

Приведенная форма модели содержит мультипликаторы:

- инвестиционный мультипликатор потребления:

 

; (7.2.37)

 

- инвестиционный мультипликатор национального дохода:

 

. (7.2.38)

 

Мультипликаторы интерпретируются как коэффициенты линейной регрессии, т.е. они показывают, на сколько единиц изменится эндогенная переменная, если экзогенная переменная изменится на единицу.

Например, если b=0,5, то . Из чего следует, что при росте инвестиций на 1 рубль, потребление так же увеличится на 1 рубль.

 

, т.е. дополнительные инвестиции в размере 1 рубля приведут при прочих равных условиях к дополнительному росту чистого национального дохода на 2 рубля.

Кроме статических моделей широко применяются для моделирования экономики динамические модели. Динамическая модель Кейнса:

 

(7.2.39)

 

где – валовой располагаемый национальный доход;

– конечное потребление домашних хозяйств;

– валовой национальный доход;

– (ВРНД) предыдущего года t;

– конечное потребление государственных учреждений;

– валовое накопление основного капитала;

– изменение запасов материальных оборотных средств и чистое приобретение ценностей;

– сальдо платежного баланса (чистые трансферты, полученные от «остального мира»).

 

Параметр а отражает влияние других, не учтенных факторов потребления. Первое уравнение является сверхидентифициуемым, второе и третье – тождествами.

Динамические модели обязательно содержат в правой части лаговые переменные. А также возможен учет тенденции, т.е. в модель может быть включен фактор времени. Например, модель Клейна в упрощенном варианте рассматривается как конъюнктурная модель:

 

(7.2.40)

 

где – конечное потребление домашних хозяйств;

– оплата труда наемных работников;

– валовая прибыль и валовые смешанные доходы;

– валовая прибыль и валовые смешанные доходы в предыдущий период;

– ВРНД;

– ВРНД в предыдущий период;

t – время;

– чистые трансферты и чистые доходы от собственности;

– валовые инвестиции в постоянных ценах (валовое сбережение);

– конечное потребление государственных учреждений.

 

Модель содержит пять эндогенных переменных, расположенных в левой части: – , , , и , определяемую по первому тождеству; три экзогенные переменные – , , t и две предопределенных, лаговых переменных – и . Как и большинство моделей такого типа, данная модель сверхидентифицируема и решается двухшаговым методом наименьших квадратов. Для интерпретации параметров и прогнозных целей используется, как и в модели Кейнса, приведенная форма модели:

 

(7.2.41)

 

Коэффициенты этой системы переменных при обычных переменных и являются мультипликаторами. Коэффициенты – мультипликаторы чистых трансфертов ( ) относительно конечного потребления домашних хозяйств ( ), валового сбережения ( ), оплаты труда ( ), ВРНД ( ) и валовой прибыли и валовых смешанных доходов ( ). А коэффициенты являются мультипликаторами соответствующих эндогенных переменных.

Рассмотрим пример динамической модели открытой экономики с экономической активностью со стороны государства:

 

(7.2.42)

 

где эндогенные переменные:

– конечное потребление домашних хозяйств в период времени t;

– частные чистые инвестиции в отрасли экономики;

– импорт;

– чистый располагаемый национальный доход.

Экзогенные предопределенные переменные:

– конечное потребление домашних хозяйств в предыдущий период времени;

– чистая прибыль и чистые смешанные доходы до налогообложения;

– импорт за предыдущий период времени;

Экзогенная переменная – конечное потребление государственных учреждений плюс чистые капиталовложения в экономику страны (по этому же сектору) плюс изменение запасов минус чистые налоги плюс экспорт.

 

Первые три уравнения – сверхидентифицируемые, четвертое – тождество.

Системы эконометрических уравнений используются для моделирования спроса и предложения.

В простейшем виде модель спроса и предложения может быть представлена следующим образом:

 

(7.2.43)

 

Здесь I – доход. Рынок является равновесным: . В этом случае P – цена равновесия, которая формируется одновременно со спросом и предложением. Следовательно, P и Q – эндогенные, а I – экзогенная переменная. Первое уравнение системы неидентифицируемо, чтобы практически реализовать эту модель следует изменить спецификацию и во второе уравнение ввести еще одну экзогенную переменную, например, налоги (N), которые выплачивают производители и продавцы. Если предположить, что исходные данные представлены временными рядами и величина налогов меняется со временем, то получим модель с учетом налога:

 

(7.2.44)

 

 

Модель спроса и предложения в таком варианте точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

Контрольные вопросы

 

1. Можно ли применять косвенный метод наименьших квадратов для сверхидентифицируемых систем?

2. Для каких систем применяется двухшаговый метод наименьших квадратов?

3. Какова последовательность двухшагового метода наименьших квадратов?

4. Сколько раз применяется метод наименьших квадратов в процедуре двухшагового метода?

5. В чем отличие оценок параметров систем уравнений, полученных двухшаговым и обычным методом наименьших квадратов?

6. Какой метод применяется в случае взаимной коррелированности регрессионных остатков?

7. Приведите пример моделей кейнсианского типа.

8. Приведите пример динамической модели экономики.

9. Приведите пример модели спроса и предложения?

10. Каково понятие «мультипликатор»?

11. Как интерпретируются мультипликаторы в модели Кейнса?

12. Как интерпретируются мультипликаторы в модели Клейна?

13. Каково понятие лаговых переменных?

 

Резюме по модульной единице 7.2.

Для оценки параметров сверхидентифицируемых систем применяется двухшаговый метод наименьших квадратов. Его оценки являются несмещенными и состоятельными.

Если в модели одновременных уравнений коррелируют случайные ошибки, то трехшаговый метод эффективнее двухшагового метода наименьших квадратов. Хотя оценки двухшагового метода остаются состоятельными и для таких моделей.

Системы одновременных уравнений широко используются для моделирования макроэкономики. Например, разработаны модели для описания экономики страны, спроса и предложения и т.д.

Тесты для самоконтроля

 

1. Двухшаговый метод наименьших квадратов может применяться для отыскания параметров:

 

1) неидентифицируемых систем 3) идентифицируемых систем (верно)
2) сверхидентифицируемых систем (верно) 4) решения уравнений регрессии

 

2. Сколько этапов двухшагового метода предусматривают применение метода наименьших квадратов?

 

1) ни один 3) два (верно)
2) один 4) столько, сколько уравнений в системе

 

3. Если в системе уравнений взаимно коррелированны остатки, то применение двухшагового метода дает оценки, которые являются:

 

1) смещенными и несостоятельными 3) несостоятельными и несмещенными
2) состоятельными и несмещенными 4) смещенными, но состоятельными (верно)

 

4. Сколько этапов трехшагового метода предусматривают применение метода наименьших квадратов?

 

1) ни один 3) два (верно)
2) один 4) столько, сколько уравнений в системе

 

5. Наибольшие сложности использования систем совместных уравнений связаны с ошибками:

 

1) оценивания параметров 3) случайными ошибками выборки
2) спецификации модели (верно) 4) конкретными

 

6. Наибольшее распространение систем одновременных уравнение наблюдается при:

 

1) построении моделей микроэкономики 3) построении моделей макроэкономики (верно)
2) системы одновременных уравнений не получили практического применения 4) построении моделей сельскохозяйственных предприятий

 

7. Как называются коэффициенты при независимых переменных в системе приведенных уравнений модели Кейнса:

 

1) акселераторы 3) регрессоры
2) мультипликаторы (верно) 4) экзогенные переменные

 

8. В правой части структурной формы систем одновременных уравнений могут находиться:

 

1) только экзогенные переменные 3) только предопределенные (лаговые) переменные
2) только эндогенные переменные 4) экзогенные, эндогенные и лаговые переменные (верно)

 

7. Инвестиционный мультипликатор национального дохода в модели Кейнса

 

 

равен:

1) 1,5 3) 0,6
2) 2,5 (верно) 4) 10

 

10. Инвестиционный мультипликатор потребления в модели Кейнса

 

равен:

 

1) 1,5 (верно) 3) 0,6
2) 2,5 4) 10