Отношения между множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.

 

 

                   
                 
   
           
         
           

 


Рис. 1.

 

1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} иY={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.

 

X Y B1 B2

 

 

Рис. 2. Рис. 3.

 

2. Пусть даны множества B1={1; 2; 3} и B2={4; 5; 6}.

Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B1 и B2 находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.

С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.

3. Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.

Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.

Определение 1.1

Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.

Отношение “включено” обозначается знаком Ì.

Соответственно отношение “включает” – знаком É.

Определение 1.1 символически записывается так: ВÌА или АÉВ. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.

Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два

множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ

ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: ØÌ ВÌА, или иначе: АÉВÉ Ø.

4. Пусть даны множества C={x; y; z}, D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С иD равны и пишут C=D.

Определение 1.2

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.

Определение 1.3

Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.

Символически данное определение можно записать так:
С = D Û С Ì D и D Ì С, или С = D Û С Ì D Ù D Ì С,
где знак Û означает “эквивалентность” (равнозначность), а знак Ù (конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.

 

 

С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.

 

       
     
   
     

 


Рис.5. рис.6.

 

Универсальное множество.

Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…

Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…

Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.

 

Операции над множествами.

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

 

Пересечение множеств.

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} и B={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

 

Определение 1.4

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: АÇВ, где символ Ç - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:

 

Р=АÇВ= {x ïxÎA и xÎB}={x ï xÎA Ù xÎB}. (1)

 

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

 

(2)

 

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак Ù (конъюнкция, или логическое “и”):

 

xÎAÇB Þ xÎA Ù xÎB (2а)

 

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

 

(3)

 

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком Ú (дизъюнкция, логическое “или”):

 

хÏАÇВ Þ хÏА Ú хÏВ. (3а)

 

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7¸10 (пересечение заштриховано).

 

               
             
       
         

 


рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10

Объединение множеств.

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 1.5

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А È В, где È - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:

 

С= А È В={xï xÎA или xÎB}. (4)

 

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

 

(5)

 

а также знаком дизъюнкции

 

х ÎА È В Þ хÎА Ú хÎВ. (5а)

 

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

 

(6)

или

 

x ÏAÈB Þ xÏA Ù xÏB. (6а)

 

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11\14 (объединение заштриховано).

 

 

рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14

 

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

 

АÈА=А, АÈÆ=А, АÈU=U. (7)

 

Замечание1.

Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

 

Р= А1Ç А2Ç…Ç Аn={x ï xÎ" Ai, i= },

 

Где символ " (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств Ai, которая принадлежит каждому множеству одновременно.

 

Замечание 2.

Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

 

C= A1ÈA2È…ÈAn={x ï xÎA1 или xÎA2 или …или xÎAn}.

 

Замечание 3.

Если в выражении есть знаки È и Ç и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

 

Разность множеств.

 

Определение 1.6

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А \ В, где символ \ является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:

 

C=A \ B={x ï xÎA и xÏB} (8)

 

Или

(9)

 

а также xÎA\B Þ xÎA Ù xÏB. (9а)

 

 

Пример 1.

 

Если E1={2; 4; 6} и E2={6; 8; 10}, то E3=E1\E2={2; 4}, E4=E2\E1={8;10}.

 

Пример 2.

 

Если M1={x1; x2; x3}, M2={y1; y2}, то M3=M1\M2={ x1; x2; x3},

M4=M2\M1={y1; y2}.

 

Пример 3.

 

Если K1={1; 3; 5; 7; 9}, K2={5; 7; 1}, то K3=K1\K2={3; 9}, K4=K2\K1=Æ.

 

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15\18, где множество А \ В заштриховано.

 

 

               
             
       
         
             

 


рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18

Дополнение к множеству.

Определение 1.7

Пусть В Ì А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .

Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .

 

Определение 1.8

Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .

Это определение может быть записано в виде:

 

= {x ï xÏA}. (10)

 

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

 

       
   

 

 


рис. 19 рис. 20

 

Тема 2. Матрицы

1о .Основные определения.

Пусть – коммутативное кольцо с единицей.

Определение 1. Матрицей размеров над кольцом называется прямоугольная таблица из элементов кольца и имеющая строк и столбцов:

где – номер строки, – номер столбца, − элементы матрицы, и − порядки матрицы. В этом случае говорят, рассматриваемая матрица размера . Если , то матрица называется квадратной, а число – её порядком.

Далее для изображения матрицы применяются либо круглые скобки, либо сдвоенные прямые:

или .

Для краткого обозначения матрицы используется либо заглавная латинская буква , либо символы , , либо с разъяснением: .

Множество всех матриц размера обозначается .

Частные случаи матриц.

1. Если , то матрица называется квадратной. Её диагональ называется главной диагональю, а побочной диагональю.

2. Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, т.е. .

3. Диагональная матрица вида называется скалярной.

4. Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается или , где – ее порядок.

5. Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается .

6. Если , то матрица называется строкой, или матрица-строка, или строка. Если столбцовая = матрица-столбец = столбец.

Определение 2. Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.

2о. Операции над матрицами и их свойства.

Определение 3. Суммой матриц и (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица : .

Обозначение: .

Замечание. Сумма матриц – алгебраическая операция.

Пример.

.

Свойства (сложения матриц).

1) Коммутативность сложения, т.е., справедливо .

2) Ассоциативность сложения, т.е., справедливо .

3) .

4) . При этом, если , то . Матрица называется противоположной к и обозначается .

Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.

Теорема 1. Множество относительно сложения образует абелеву группу.

Доказательство следует из свойств 1)–4).

Определение 4. Произведением элемента на матрицу называется матрица

Обозначение: .

Операция, сопоставляющая и их произведение называется умножением элемента кольца на матрицу.

Свойства (умножения матрицы на элемент кольца).

выполняется

1) .

2) .

3) .

4) .

Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.

Замечание. Разность двух прямоугольных матриц и определяется равенством .

Определение 5.Произведением матриц размера и размера называется матрица размеров такая, что каждый элемент .

Обозначение: .

Операция произведения на называется перемножением этих матриц.

Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий в –ой строке и –ом столбце, равен сумме произведений элементов –ой строки матрицы на –ый столбец матрицы .

Примеры.

1) ,

2) .

Таким образом, две матрицы можно перемножать, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Тогда матрица называется согласованной с . Из согласованности с не следует согласованность с . Если даже условие согласования выполняется, то в общем случае .