Основные правила и формулы дифференцирования

 

Дифференцированием мы будем называть вычисление производной.

Если функции и имеют производные в точке х, то их сумма, разность, произведение и частное(при условии, что ) имеют производные и справедливы равенства:

; (1)

; (2)

. (3)

 

Доказательство.

1) Дадим приращение аргументу , а соответствующие приращения функций u и v обозначим и . Тогда

2)

3)

4)

Частный случай.

(Постоянный сомножитель можно выносить за знак производной).

 

Производные некоторых основных элементарных функ-

ций

1. . Докажем при

 

 

2.

Т.е. мы можем воспользоваться формулой для n – отрицательных:

Оказывается, формула справедлива для всех n (не только для целых).

 

3. .

 

Доказательство.

4. . Доказать самостоятельно.

 

5.

 

6. Доказательство аналогичное.

 

7.

 

 

7а.

 

8.

Доказательство.

 

Дифференциал функции

 

Если функция f имеет в точке х производную, то существует предел

Отсюда:

Тогда . (1)

 

Если обозначить , то . (2)

Говорят, что функция f дифференцируема в точке х, если ее приращение в этой точке можно записать в виде (2), где – бесконечно малая функция ( ).

Если функция f имеет в точке х производную, она называется дифференцируемой в этой точке (т.е. представляется в виде (2)).

Если функция f дифференцируема в точке х, то она имеет производную

Таким образом, понятия дифференцируемости и наличия производной отождествляются.

Если в (2) , то называется главным линейным членом приращения – он пропорционален . Приближенно, пренебрегая при малых вторым членом, можно считать .

Этот главный член приращения называют дифференциалом функции : .

Таким образом, производная от f в точке х равна , т.е. она равна отношению дифференциала функции f к соответствующему дифференциалу независимой переменной х. При этом не зависит от х, а зависит как от х, так и от .

 

Пример.

Пример использования дифференциала для приближен-ных вычислений.

Нужно прикинуть, сколько (какой объем) материала истрачено на изготовление кубической коробки с внутренним размером ребра коробки 10см и толщиной стенок 1мм.

Объем куба , где х – длина его ребра.

Объем стенок коробки

Точное значение .

Точность приближенного вычисления

Производная сложной функции, обратной функции,

функции, заданной параметрически

 

Пусть задана сложная функция При этом функция имеет производную в точке х, а функция f имеет производную в точке . Тогда существует производная от F в точке х, равная

 

Доказательство.

Т.к. функция f имеет производную, то она дифференцируема, т.е. , при этом

Разделим на и перейдем к пределу при x

Или

 

Пример.

Найти производную функции ;

, , , .

 

Практически дифференцируют, не вводя промежуточных аргументов.

Производная обратной функции

 

Теорема.

Если – строго монотонная непрерывная функция и – обратная к ней функция, имеющая в точке у производную , то функция f имеет в соответст-вующей точке х производную

.

 

Доказательство.

, так как функция f(x) непрерывна, то при

и , тогда .

 

Примеры использования производной от обратной функции

1. Найти . Мы уже вывели эту формулу. Вывод был достаточно громоздкий.

Теперь: если , то , .

– результат тот же самый.

Если а=е, т.е. у=lnx, то .

 

Производные обратных тригонометрических функций

– строго возрастает на отрезке [-1,1]. Напомню график

 
 

 


Обратная функция x=siny имеет производную , если .

Поэтому

 

Аналогично

Таким образом, у нас имеется таблица производных основных элементарных функций. Тем самым ясно, как вычислять производные элементарных функций, которые получают из основных элементарных путем конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.

 

Производная функции, заданной параметрически

Пусть х и у заданы как функции некоторого параметра t:

. (1)

Каждому значению t соответствуют значения х и у.

 

 
 

 

 


 

 

Если рассматривать эти значения x и y как координаты точки на плоскости xОy, то каждому значению t соответствует определенная точка плоскости. При изменении t от эта точка описывает на плоскости некоторую кривую.

Уравнения (1) называются параметрическими уравне-ниями этой кривой, t называется параметром, а способ задания кривой (1) –параметрическим.

Предположим, что функция имеет обратную, , тогда т.е. у является сложной функцией от х.

По правилу дифференцирования сложной функции

. Но по правилу дифференцирования обратной функции .

 

Эта формула называется формулой дифференцирования функции, заданной параметрически.

Пример: