Формула Тейлора для функции двух переменных

 

Формула Тейлора для функции одной переменной выглядит следующим образом:

 

.

 

Здесь – дифференциал первого порядка;

– дифференциал второго порядка;

– дифференциал -го порядка;

– остаточный член.

Формула Тейлора позволяет вычислить функцию в окрестности точки , если в этой точке известны функция и ее производных.

Аналогичная формула имеет место для функции двух переменных и вообще для функции многих переменных. В частности, если – функция двух переменных, непрерывная вместе со своими частными производными по и в некоторой области, содержащей точки и , то имеет место следующая формула Тейлора:

 

.

 

Здесь – полный дифференциал -го порядка функции двух переменных.

Выпишем эти дифференциалы при и .

 

,

где . Таким образом, – обычный полный дифференциал первого порядка. При имеем

 

 

 

 

.

 

Упражнение. Выписать самостоятельно полный дифференциал третьего порядка функции двух переменных.

Замечание. Если , то формула Тейлора носит название формулы Маклорена.

 

Пример 1.

Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

Сначала найдем частные производные:

 

 

.

 

Все остальные производные равны нулю, так что формула Тейлора имеет ограниченное число членов.

Найдем функцию и ее частные производные в точке .

 

;

вторые частные производные равны константам, которые мы уже вычислили. Таким образом,

 

.

 

Пример 2.

Используя формулу Тейлора до членов второго порядка включительно, вычислить приближенно значение .

 

Пусть .

Тогда

 

 

 

.

Таким образом,

 

 

 

.

 

 

Экстремум функции двух переменных

 

Определение 1. Функция z=f(x,y) имеет максимум в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)>f(x,y) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке 00) и отличных от нее.

Определение 2. Функция z=f(x,y) имеет минимум в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)<f(x,y) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке 00) и отличных от нее.

Как обычно, точки максимума и минимума называют точками экстремума.

Пример. Рассмотрим функцию z=(x–a)2+(y–b)2+1.

Очевидно, при х=а и у=b, z=1. Но если х¹а, у¹b, то

(x–a)2+(y–b)2>0, поэтому в любой точке, отличной от М(а,b), z>1. Следовательно, в точке М(а,b) функция имеет минимум, т.к. z(a,b)<z(x,y).

Можно дать немного другие определения. Пусть

 

Df = f(x, y) – f(x0, y0) = f(x0 + Dx, y0 + Dy) – f(x0, y0).

Определение. Если Df>0 (Df<0) при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция f(x,y) достигает в точке М(х00) минимума (максимума).

Все приведенные формулировки переносятся на функции любого числа переменных.

 

Теорема 1 (необходимое условие экстремума).

Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при х=х0, у=у0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в ноль, или не существует при х=х0, у=у0.

Доказательство очевидно, привести его самостоятельно.

Замечание. Условия являются необходимыми, но не достаточными. Может оказаться, что оба эти условия выполнены, а экстремума нет.


Пример. z=x2–y2.

 

 

В точке х0=0, у0=0 обе частные производные равны нулю, но ни максимума, ни минимума нет (см. рис.).

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку М000) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка М000) является критической точкой, т.е.

 

 

Тогда при х=х0, у=у0:

1) f(x,y) имеет максимум, если

 

и

 

2) f(x,y) имеет минимум, если

 

и

 

3) f(x,y) не имеет ни максимума, ни минимума, если

 

4) если же , то экстремум может быть, а может его и не быть (требуется дополнительное исследование).

Теорема 2 дается без доказательства.

 

Пример. Исследовать на максимум и минимум функцию z=x3+y3–3xy.

Сначала находим критические точки:

 

.

 

Решим уравнение x4=x:

 

x4–x=0, x(x3–1)=0, x(x–1)(x2+x+1)=0, x1=0, x2=1.

 

Тогда у1=0, у2=1. Таким образом, мы нашли две критические точки: (0;0) и (1;1).

Найдем производные второго порядка:

 

 

Исследуем характер точки (0;0):

 

 

 

ac – b2 = 0 × 0 – 9 = –9 < 0.

 

В этой точке экстремума нет.

Исследуем характер второй точки (1;1):

b=–3;

 

ac – b2 = 6 × 6 – 9 = 27 > 0; a > 0.

 

В точке (1;1) функция имеет минимум, zmin=z(1;1)=–1.