Похожие публикации

А. С. Пушкин призывал своих читателей взять в руки книгу, если их охватил недуг. И он был прав. Издавна люди заметили положительное действие книги на здоровье и настроение человека. Внастоящее время этот метод шир
Документ
Ещё великий педагог В.А.Сухомлинский писал: « Чтобы подготовить человека духовно к самостоятельной жизни, надо вести его в мир книг». Книга не только ...полностью>>

Д. В. Васёв Пермский государственный институт искусства и культуры
Документ
Театральное искусство уходит своими корнями в глубокую древность. Элементы театрализации существовали в первобытных обрядах в тотемических плясках, в ...полностью>>

«сказочные» задачи по генетике
Документ
Хоть задачи и сказочные, все в них подчиняется известным генетическим законам. Решать такие задачи интереснее, чем обычные о горохе и петушином гребне...полностью>>

Родительское собрание для выпускных классов
Документ
Экзаменационный период учебного года – это особая пора и для учащихся, и для родителей. Дети, которым безразличен результат обучения, - скорее исключе...полностью>>



Районная олимпиада по математике. 9 класс

Районная олимпиада по математике. 9 класс.

   Задача 1. На планете Целина обитают два вида разумных существ: у одних - 1 голова, 5 рук и 3 ноги, а у других - 2 руки, 4 ноги и 6 голов. В Бюро Межпланетных Контактов (БМК) планеты Целина работают несколько сотрудников, на которых приходится 220 рук и голов. Сколько всего ног у сотрудников БМК?

   Задача 2. Пока Петя был в кино, минутная стрелка его часов два раза обгоняла часовую. Сколько времени мог длиться сеанс?

   Задача 3. На плоскости отмечена точка A. Требуется провести на плоскости несколько не проходящих через A отрезков так, чтобы всякий луч, выходящий из отмеченной точки, пересекал хотя бы два из них. Каким наименьшим числом отрезков можно обойтись?

   Задача 4. Дан треугольник ABC. На сторонах и ВС взяты точки D и Е таким образом, что ACB = 2 BED. Докажите, что AC + ЕC > AD.

   Задача 5. Докажите, что в записи 20022 - 20012 -...- 22 - 12 можно некоторые минусы поменять на плюсы так, что значение получившегося выражения будет равно 2003.

Районная олимпиада по математике. 9 класс. Ответы.

Задача 1. Ответ: 110.

Решение. Заметим, что у каждого сотрудника суммарное количество рук и голов в два раза больше количества ног, значит, и у всех сотрудников БМК ног в два раза меньше, чем рук и голов.
Задача 2. Ответ: более часа, но менее часа.

Решение. Минутная стрелка за 12 часов обгоняет часовую 11 раз, значит между двумя обгонами проходит часа. Чтобы прошли два обгона, надо, по крайней мере, начать наблюдать этот временной интервал непосредственно перед первым, а закончить непосредственно после второго обгона, т.е. не менее часа. Чтобы за период наблюдения не произошло третьего обгона, надо начать наблюдать не ранее, чем за часа до первого обгона и закончить наблюдение не позже, чем через часа после второго обгона.

Задача 3. Решение. Покажем, что менее, чем пятью отрезками обойтись не удастся. Рассмотрим точку A и один из отрезков. Проведем из A два луча в противоположных направлениях, параллельные этому отрезку. Каждый из них должен пересечь еще по два отрезка, т.е. всего отрезков должно быть не менее пяти. Пятью отрезками, образующими пятиугольную звезду, можно обойтись, если точка A находится внутри этой звезды.


   Задача 4. Решение. Проведем биссектрису CL в треугольнике ABС. DE||LC, т.к. DBE = DCL.

Если мы докажем, что BC > BL, то отсюда будет следовать, что EC > DL. (*)
Чтобы показать, что BC > BL достаточно показать, что в BCL угол BLС больше угла BCL. Но это так, потому что угол BLС - внешний в ALC и, значит, больше угла LCA, который равен углу LCB.
Аналогично, AC > AL. (**)
Из неравенств (*) и (**) следует утверждение задачи.

Задача 5. Решение. Рассмотрим четыре идущих подряд числа и расставим в них знаки следующим образом:
(n+3)2 - (n+2)2 - (n+1)2 + n2 = n2 + 6n + 9 - n2 - 4n - 4 - n2 - 2n - 1 + n2 = 4.
Итак, любые четыре подряд идущих члена после указанной расстановки знаков могут дать в результате 4, поэтому первые 2000 членов, разбитые на четверки, дадут 500x4 = 2000. Оставшиеся два члена могут добавить к результату еще тройку: 22 - 1.