Похожие публикации

Создание стандартного раздела в 7 х
Документ
Все пользовательские разработки в 7.0 должны осуществляется в рамках пакета. Поэтому предварительно должен быть создан пакет, в котором будет создават...полностью>>

Общая инструкция по эксплуатации радиоуправляемыми вертолетами Установка батареек и зарядка
Инструкция по эксплуатации
Phantom 6010-2; FXL00721-27 331; FXL04910-21 SWIFT-время зарядки 30мин., подзарядка вертолета осуществляется через шнур USB или с пульта управления и ...полностью>>

Литература: Социальная педагогика ( под ред. М. А. Галагузовой) М., 2000
Литература
Теория и практика с\п связаны с историко-культурными, этнографическими традициями и особенностями народа, зависят от социально-экономического развития...полностью>>

Литература: Социальная педагогика ( под ред. М. А. Галагузовой) М., 2000
Литература
Теория и практика с\п связаны с историко-культурными, этнографическими традициями и особенностями народа, зависят от социально-экономического развития...полностью>>



Решение: Математическая модель имеет вид

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

О Т Ч Е Т

о результатах выполнения

контрольной работы №1

по предмету «Экономико- математические методы и прикладные модели»

Вариант №1

Выполнил: Мухсинова Э. А.

Факультет Финансово-кредитный

Специальность Финансы и кредит

Группа 3-дФК-3

№ зачетной книжки 07ФФД13221

Преподаватель Хусаинова З.Ф.

Уфа 2009

Задача 1.1.

Условия задачи:

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В -10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Решение:

Математическая модель имеет вид.

F = 0,08x1 + 0,1x2  max  -  целевая функция (прибыль)

     x1 + x2  300

    x1  2x2 = x1 -2x2 0   -   ограничения по сумме вложений 

             x2  100

          x1  0;  x2  0; 

Управляющие переменные:

x1- сумма капитала вложенная в акции автомобильного концерна А ,

x2 – сумма капитала вложенная в акции строительного предприятия В, соответственно;

F – прибыль.

Система неравенств включает ограничения по суммам вложений. Акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:

 

A

B

C

D

E

F

G

H

 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

переменные

х1

х2

 

 

 

 

 

4

значения

 

 

 

 

<--свободные ячейки

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

6

цел-я функция

коэф-ты Cj

значение F

 

 

7

 

0,08

0,1

 

 

=СУММПРОИЗВ(В7:С7;В4:С4)

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

9

ограничения

коэф-ты аij

формула

знак

bi

10

1-ое

1

1

 

 

=СУММПРОИЗВ(В10:С10;В4:С4) 

<=

300

11

2-ое

1

-2

 

 

=СУММПРОИЗВ(В11:С11;В4:С4) 

>=

0

12

3-ие

0

1

 

 

=СУММПРОИЗВ(В12:С12;В4:С4) 

<=

100

Диалоговое окно программы «Поиск решения»

Установить целевую ячейку $F$7

Равной О max значению

Изменяя ячейки :$B$4:$C$4

Ограничения: $F$10<=$H$10 v Линейная модель

$F$11>=$H$11 v Неотрицательные значения

$F$12<=$H$12

Результат работы программы «Поиск решения»

 

A

B

C

D

E

F

G

H

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

переменные

х1

х2

 

 

 

 

 

4

значения

200

100

 

 

<--свободные ячейки

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

6

цел-я функция

коэф-ты Cj

значение F

 

 

7

 

0,08

0,1

 

 

26

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

9

ограничения

коэф-ты аij

формула

знак

bi

10

1-ое

1

1

 

 

300

<=

300

11

2-ое

1

-2

 

 

0

>=

0

12

3-ие

0

1

 

 

100

<=

100

Графическое решение.

F = 0,08x1 + 0,1x2  max 

 x1 + x2  300

x1 -2x2 0  

x2  100

  x1  0;  x2  0; 

х2

300

200

150

X1-2X2=0

A

B

100

X2=100

C

0

100

200

300

х1

L

X1+X2=300

1.Определим множество решений неравенств:

1-ое ограничение

x1 + x2 = 300

x1 0 300

x2 300 0

2-ое ограничение

x1 -2x2 =0  

x1   0 300

x2   0 150

3-ие ограничение

x2 =100 – горизонтальная

прямая

2. Приравняем целевую функцию к нулю F = 0,08x1 + 0,1x2 =0  

x1 0 1

x2 0 -0,8

через эти две точки проведем линию (L).

3. Построим вектор-градиент и соединим его с началом координат

∆ (с1 ; с2 );

∆ (0,08 ; 0,1 ).

4. При минимизации целевой функции необходимо в направлении вектора-градиента. В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Именно в этой точке достигается максимум целевой функции.

x1 + x2 = 300

x2 =100

x1 = 300 -x2

x1 = 300 – 100 = 200; F = 0,08*200 + 0,1*100 = 16 + 10 = 26.

5. Ответ: max (F) =26 и достигается при   x1 =200;  x2 =100; 

Рекомендуется вложить в акции автомобильного концерна А, 200 тыс. ден. ед., в акции строительного предприятия В, 100 тыс. ден. ед., в первый год получим максимум прибыли 26 тыс. ден. ед.

6. Если поставить задачу минимизации, функциональную линию уровня необходимо смещать в направлении противоположном вектору-градиенту ∆. Минимум целевой функции достигается в точке 0 (0;0) следовательно можно записать min (F) = 0 и достигается при   x1 = 0;  x2 = 0.

Задача 2.1.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы сырья

А

Б

В

Г

I

1

2

1

0

18

II

1

1

2

1

30

III

1

3

3

2

40

Цена изделия

12

7

18

10

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план с помощью теорем двойственности.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

  • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

  • определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;

  • оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Математическая модель имеет вид.

F = 18x1 + 30x2 + 40x3  min (стоимость ресурсов)

x1 + x2 + x3 12
      2x1 +x2 + 3x3 7 - стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы

      x1 +  2x2 +3x3 18 продукции, при нормах расходах сырья соответственно

      0x1 +  x2 +2x3 10 (А, Б, В, Г).

Управляющие переменные:

x1 – двойственная оценка или теневая цена 1–ого ресурса

x2 – двойственная оценка или теневая цена 2–ого ресурса

x3 – двойственная оценка или теневая цена 3–го ресурса

Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:

      

 

A

B

C

D

E

F

G

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

переменные

х1

х2

х3

 

 

 

4

значения

 

 

 

<--свободные ячейки

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

6

цел-я функция

коэф-ты Cj

значение F

 

 

7

F

18

30

40

=СУММПРОИЗВ(В7:D7;В4:D4)

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

9

ограничения

коэф-ты аij

формула

знак

bi

10

1-ое

1

1

1

=СУММПРОИЗВ(В10:D10;В4:D4)

>=

12

11

2-ое

2

1

3

=СУММПРОИЗВ(В11:D11;В4:D4)

>=

7

12

3-ие

1

2

3

=СУММПРОИЗВ(В12:D12;В4:D4)

>=

18

13

4-ое

0

1

2

=СУММПРОИЗВ(В13:D13;В4:D4)

>=

10

Диалоговое окно программы «Поиск решения»

Установить целевую ячейку $E$7

Равной О min значению

Изменяя ячейки :$B$4:$D$4

Ограничения: $E$10: $E$13>=$G$10: $G$13

v Линейная модель

v Неотрицательные значения

Результат работы программы «Поиск решения»

 

A

B

C

D

E

F

G

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

переменные

х1

х2

х3

 

 

 

4

значения

<--свободные ячейки

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

6

цел-я функция

коэф-ты Cj

значение F

 

 

7

F

18

30

40

326

 

8

 

 

 

 

 

 

 

9

ограничения

коэф-ты аij

формула

знак

bi

10

1-ое

1

1

1

12

>=

12

11

2-ое

2

1

3

29

>=

7

12

3-ие

1

2

3

22

>=

18

13

4-ое

0

1

2

10

>=

10

.

 

 

Результ.

Нормир.

Целевой

Допустимое

Допустимое

Ячейка

Имя

значение

стоимость

Коэффициент

Увеличение

Уменьшение

$B$4

значения х1

7

0

18

2

18

$C$4

значения х2

0

1

30

1E+30

1

$D$4

значения х3

5

0

40

2

22

 

 

Результ.

Теневая

Ограничение

Допустимое

Допустимое

Ячейка

Имя

значение

Цена

Правая часть

Увеличение

Уменьшение

$E$10

1-ое формула

12

18

12

1E+30

4

$E$11

2-ое формула

29

0

7

22

1E+30

$E$12

3-ие формула

22

0

18

4

1E+30

$E$13

4-ое формула

10

11

10

14

4

3. Если продукция вошла в оптимальный план хj >0, то в двойственных оценках она не убыточна, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна ее цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимально. В нашей задаче – это предприятия вида А и Г. Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одной единицы продукции больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за убыточности. В нашей задаче в план выпуска не вошла продукция вида Б и В, потому что затраты по ним превышают цену.

Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора у:

у1 + у2 + у3 12  1*7+1*0+1*5 = 12 = 12  выгодно
  2у12 + 3у3 7  2*7+1*0+3*5 = 29 > 7  невыгодно

  у1 +  2у2 +3у3 18  1*7+2*0+3*5 = 22 > 18  невыгодно

  0у1 +  у2 +2у3 10  0+1*0+2*5 = 10 = 10  выгодно

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

  • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:

1-ый и 3-ий ресурсы имеют отличные от нуля оценки: 7 и 5 - эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е сдерживают рост целевой функции.

x1 + 2x2 + x3+ 0 18 правые части этих ограничений равны левым частям
x1 +3x2 + 3x3+ 2x4 40

1*18+2*0+1*0+0 = 18

1*18+3*0+3*0+2*11 = 40

2-ой ресурс используется не полностью (29<30), поэтому имеет нулевую двойственную оценку (у2 = 0).

x1 +x2 + 2x3+ x4 30

1*18+1*0+2*0+1*11 = 29<30.

Этот ресурс в меньшей степени влияет на план выпуска продукции.

  • определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида:

Ic =18+4=22

IIc =30+3=33

IIIc =40-3=37

∆Fmax =∆bi*yi

∆ Fmax =4*7+3*0-(3*5) = 28+0-15 = 13

В нашей задаче значение целевой функции увеличивается на 13 ден.ед, план выпуска: x1 = 22; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 7,5.

  • оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

αi - нормированные затраты ресурсов на производство единицы новой продукции Д.

с – ожидаемая прибыль

с1 - 2; с2 - 2; с3 - 2; с -10

чистый доход  σ = с - ∑ αi yi

σ = 10 – (2*7+2*0+2*5) = (14+0+10) = 10 – 24 = -14

-14 <0  производство изделия Д нецелесообразно.

Ответ: Общая стоимость используемых ресурсов при выпуске 18 единиц продукции А и 11 единиц продукции Г составит 326 ден.ед.

Вывод: Предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану и получить max прибыль либо продать ресурсы по оптимальным ценам и возместить от продажи равные ей min затраты на ресурсы.

Задача 4

4.1. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

yt

10

14

21

24

33

41

44

47

49

Необходимо:

1. Определить наличие тренда ;

2. Построить линейную модель ;

3. Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности Р=70%).

Отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и программирования.

Решение

1. Определение наличия тренда

Гипотезу о равенстве дисперсий проверим с помощью Двухвыборочного F-теста для дисперсий, который можно найти среди инструментов Анализа данных (рис. 1.1)

Рис. 1.1 Вызов надстройки Excel Анализ данных

Вводим данные для выполнения F-теста, указывая интервал для первой и второй переменных (рис. 1.2). Результат выполне­ния F-теста приведен на рис. 1.3. Анализируя результаты выполнения двухвыборочного F-теста для проверки гипотезы о равенстве дисперсий, приходим к выводу, что исправленные выборочные дисперсии различаются, но различие не больше F критического 6,56<9,12, следовательно, различие незначимо.

Рис. 1.2 Введение данных для двухвыборочного F-теста

Рис. 1.3. Результат выполнения для дисперсии

Выбираем инструмент анализа Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис. 1.4). Вводим данные. Ре­зультат выполнения t-теста приведен на рис. 1.5, анализируя который убеждаемся, что тренд есть (5,18>2,36).

Рис. 1.4. Ввод данных для двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями.

Рис. 1.5. Результат выполнения t-теста

2. Построение линейной модели

Оценка параметров модели с помощью надстройки Excel Анализ данных. Построим линейную модель регрессии Y от t. Для проведения регрессионного анализа выполним следующие действия:

  • Выберем Сервис Анализ данных

  • В диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент Регрессия;

  • В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введем адрес диапазона ячеек $B$2:$B$10, который представляет зависимую переменную;

  • В поле Входной интервал X введем адрес диапазона $A$2:$A$10;

  • Выберем параметры Вывода – Новый рабочий лист;

  • В поле график подбора поставим флажок;

  • В поле остатки поставим флажки (рис. 1.6)

Рис. 1.6 Ввод данных в окно Регрессия

Результат регрессионного анализа приведен на рис. 1.7. и 1.8.

Рис. 1.7 Результат регрессионного анализа и вывод остатков

На основе данных таблицы можно утверждать, что имеет вид:

Рис. 1.8 График подбора

  1. Построим линию тренда. Для этого

  2. Кликнем правой кнопкой мыши на одном из рядов диаграммы.

  3. Выберем команду Добавить линию тренда из контекстного ме­ню.

  4. Выберем тип регрессии:

- линейный

- полиномиальный 2 степени

- полиномиальный 3 степени

- степенной

- экспоненциальный

Вкладке Параметры установим флажки в полях:

- показывать уравнение на диаграмме

- поместить на диаграмме величину доверительной аппроксимации R2 (рис.1.9)

Рис. 1.9 Уравнения регрессии и их графики

Выбор наиболее адекватного уравнения регрессии определяется максимальным значением коэффициента аппроксимации R2: чем ближе значение R2 к единице, тем более точно регрессионная модель соответствует фактическим данным.

Вывод: Максимальное значение коэффициента детерминации R2 =0,9939 присуще полиномиальному уравнению регрессии 3 степени.

Это уравнение регрессии и его график приведены на отдельной диаграмме рассеяния (рис. 1.10):

Рис. 1.10 График полиномиальной зависимости 3 степени.

Рассчитать параметры уравнения можно вручную с помощью компьютера по формулам: (рис. 1.11)

Рис. 1.11 Формульный вид расчета вспомогательных величин

Рис. 1.12 Результат расчета вспомогательных величин

3. Построение точечного и интервального прогнозов на два шага вперед.

Для вычисления точечного прогноза на 2 шага вперед в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n+k:

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости , доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при по таблице t-статистики Стьюдента равен 1,12.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

, где

3,502,

3,707.

Далее вычислим верхнюю и нижнюю границы прогноза:

В результате получаем таблицу:

Рис. 1.13 Построение интервального прогноза

Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.

- Построим первый ряд «Фактические данные» и второй ряд «Сглаживание» с помощью инструмента Мастер диаграмм:

- Тип диаграммы – график;

- В строку «Диапазон» введем диапазон ячеек: =Лист1!$B$2:$B$10 (рис.1.14). Получаем график фактических данных (рис. 1.15).

Рис. 1.14 Ввод данных в строку «Диапазон»

Рис. 1.15 График фактических данных

Построим график простой скользящей средней, при помощи которой сгладим значения y(t). Значения простой скользящей средней могут быть найдены так: СервисАнализ данныхСкользящее среднее. Заполним строки (рис.1.16):

Рис. 1.16 Заполнение строк для нахождения скользящей средней

Значения простой скользящей средней отображены на рис. 1.17 они располагаются в ячейках В14:В20.

В области графика кликнем правой кнопкой мыши. Из появившегося меню выберем параметр Исходные данные (рис. 1.17). В поле Имя введем название Ряда1 «Фактические данные».

В этом же окне нажмем кнопку Добавить для добавления еще одного Ряда, для построения графика скользящей средней:

В поле Имя введем: «Сглаживание»

В поле Значения введем: =Лист1!$B$14:$B$20 (рис. 1.17)

Рис. 1.17 Построение рядов

Построим линию точечного прогноза по данным из рис. 1.13:

Для этого аналогичным образом добавим ряд 3, заполним строки:

В поле Имя введем: «Прогноз»

В поле Значения введем: =Лист1!$С$2:$B$12

Построим линии интервального прогноза:

Добавим Ряд 4:

В поле Имя введем: «Прогноз верхние границы»

В поле Значения введем: =Лист1!$D$2:$D$12

Добавим Ряд 5:

В поле Имя введем: «Прогноз нижние границы»

В поле Значения введем: =Лист1!$E$2:$E$12 (рис. 1.18)

Рис. 1.18 Построение границ прогноза

Таким образом, графический результат моделирования и прогнозирования нашей модели представлен на рис. 1.19:

Рис. 1.19 Результаты моделирования и прогнозирования